正多面体只有5种证明(为什么正多面体只有5种)
关注:40 发布时间:2022-03-31 12:46:03
1.证明了如果一个正多面体的每个面都是一条正n边线,每个顶点都是m条边,那么边数e应该是f(面数)与n的乘积的一半,即nf=2e(公式1)。同时,e应该是v(顶点数)与m乘积的一半,即mv=2e(公式2)。根据公式1和公式2,f=2e/n,v=2e/m,代入欧拉公式v f-e=2,2e/m 2e/n-e=2,则得到1/m 1/n=1/2 1/e。
2.因为e是正整数,所以是1/e0。所以1/m1/n1/2(公式3),也就是说m和n都不能大于3,否则公式3不成立。另一方面,因为m和n(正多面体顶点的边数和多边形的边数)的意义是已知的,所以m=3,n=3。因此m和n中至少有一个等于3。
3.当m=3时,因为1/n1/2-1/3=1/6且n为正整数,所以n只能是3,4,5。
4.同理,如果n=3,m只能是3,4,5。所以正多面体只有5种,因为n m型,3 ^ 3正四面体,4 ^ 3正六面体,3 ^ 4正八面体,5 ^ 3正十二面体,3 ^ 5正二十面体。
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